Lecture 03 Transformation¶
2D 变换¶
2D平面上的基础变换矩阵可以通过原点进行推导
线性变换¶
\[
x^{'} = ax + by \\
y^{'} = cx + dy \\
\space \\
\left(\begin{matrix}
x^{'} \\ y ^{'}
\end{matrix}\right) =
\left(\begin{matrix}
a & b \\
c & d
\end{matrix}\right)
\left(\begin{matrix}
x \\ y
\end{matrix}\right) \\
\space \\
{\mathrm{x}}^{'} = \mathrm{M}\mathrm{x}
\]
缩放¶
\[
\left(\begin{matrix}
x^{'} \\ y ^{'}
\end{matrix}\right) =
\left(\begin{matrix}
s_x & 0 \\
0 & s_y
\end{matrix}\right)
\left(\begin{matrix}
x \\ y
\end{matrix}\right)
\]
其中\(s_x\)代表x轴方向的缩放大小，\(s_y\)代表y轴方向的缩放大小
以上图图示为例 \(s_x = 0.5,s_y=1.0\)
水平翻转¶
\[
x_{'} = -x \\
y_{'} = y \\
\space \\
\left(\begin{matrix}
x^{'} \\ y ^{'}
\end{matrix}\right) =
\left(\begin{matrix}
-1 & 0 \\
0 & 1
\end{matrix}\right)
\left(\begin{matrix}
x \\ y
\end{matrix}\right)
\]
上述公式代表水平翻转矩阵，垂直翻转矩阵可类推
切变矩阵¶
\[
\left(\begin{matrix}
x^{'} \\ y ^{'}
\end{matrix}\right) =
\left(\begin{matrix}
1 & a \\
0 & 1
\end{matrix}\right)
\left(\begin{matrix}
x \\ y
\end{matrix}\right) \\
\]
以上图为例，图形底部未进行偏移，而y轴上值越大，x轴上的偏移越大
旋转矩阵(原点，逆时针)¶
\[
\mathrm{R_{\theta}} =
\left(\begin{matrix}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{matrix}\right)
\]
其中有一条重要的性质如下
\[
\mathrm{R_{-\theta}} =
\left(\begin{matrix}
\cos \theta & \sin \theta \\
-\sin \theta & \cos \theta
\end{matrix}\right) =
\mathrm{R_{\theta}^T}
\]
并且以原点为中心旋转 \(\theta\) 角度和 \(-\theta\) 角度是互逆的操作
\[
\mathrm{R_{-\theta}} =
\mathrm{R_{\theta}^T} =
\mathrm{R_{\theta}^{-1}}
\]
即转置矩阵等于逆矩阵
但是旋转矩阵的行列式值为 1，普通正交矩阵的行列式值为 ±1
齐次坐标¶
\[
x_{'} = x + t_x \\
y_{'} = y + t_y\\
\]
- 平移不能用上述的矩阵形式表示，所以 平移并不是线性变换
\[
\left(\begin{matrix}
x^{'} \\ y ^{'}
\end{matrix}\right) =
\left(\begin{matrix}
a & b \\
c & d
\end{matrix}\right)
\left(\begin{matrix}
x \\ y
\end{matrix}\right) +
\left(\begin{matrix}
t_x \\ t_y
\end{matrix}\right)
\]
解决办法¶
引入第三维 (w-coordinate)
-
\(2D \space point = (x, y, 1)^{T}\)
-
\(2D \space vector = (x, y, 0)^{T}\)
齐次坐标下，第三维为1代表点，为0代表向量
平移的矩阵表达形式（使用齐次坐标）
\[
\left(\begin{matrix}
x^{'} \\ y^{'} \\ w^{'}
\end{matrix}\right) =
\left(\begin{matrix}
1 & 0 & t_x \\
0 & 1 & t_y \\
0 & 0 & 1
\end{matrix}\right)
\left(\begin{matrix}
x \\ y \\ 1
\end{matrix}\right) +
\left(\begin{matrix}
x + t_x \\ y + t_y \\ 1
\end{matrix}\right)
\]
w 分量相关¶
- vector + vector = vector
- point - point = vector
- point + vector = point
- point + point = point (两点相加，得到结果为这两点的连线中点)
在齐次坐标中，有如下规定
\[
\left(\begin{matrix}
x \\ y \\ w
\end{matrix}\right) \space is \space the \space 2D \space point
\left(\begin{matrix}
x/w \\ y/w \\ 1
\end{matrix}\right), \space w \neq 0
\]
仿射变换¶
仿射变换 = 线性变换 + 平移
先应用线性变换在进行平移
\[
\left(\begin{matrix}
x^{'} \\ y ^{'}
\end{matrix}\right) =
\left(\begin{matrix}
a & b \\
c & d
\end{matrix}\right)
\left(\begin{matrix}
x \\ y
\end{matrix}\right) +
\left(\begin{matrix}
t_x \\ t_y
\end{matrix}\right)
\]
解决办法：使用齐次坐标
所有的仿射变换都能写成齐次坐标的形式
\[
\left(\begin{matrix}
x^{'} \\ y ^{'} \\ 1
\end{matrix}\right) =
\left(\begin{matrix}
a & b & t_x\\
c & d & t_y \\
0 & 0 & 1
\end{matrix}\right)
\left(\begin{matrix}
x \\ y \\ 1
\end{matrix}\right)
\]
齐次坐标下的 2D 变换¶
缩放¶
\[
\mathrm{S}(s_x, s_y) =
\left(\begin{matrix}
s_x & 0 & 0\\
0 & s_y & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{matrix}\right)
\]
旋转¶
\[
\mathrm{R}(\alpha) =
\left(\begin{matrix}
\cos \alpha & -\sin \alpha & 0\\
\sin \alpha & \cos \alpha & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{matrix}\right)
\]
平移¶
\[
\mathrm{T}(t_x, t_y) =
\left(\begin{matrix}
1 & 0 & t_x \\
0 & 1 & t_y \\
0 & 0 & 1
\end{matrix}\right)
\]
值得注意的是，\(\mathrm{M^{-1}}\) 既是变换矩阵 \(\mathrm{M}\) 的逆矩阵，也是逆变换
组合变换¶
变换的顺序是至关重要的！
- 矩阵乘法不满足交换律
\[
\mathrm{R_{45}} \cdot \mathrm{T_{(1,0)}} \neq \mathrm{T_{(1,0)}} \cdot \mathrm{R_{45}}
\]
- 注意矩阵的结合顺序是从右到左的
\[
\mathrm{T_{(1,0)}} \cdot \mathrm{R_{45}}
\left(\begin{matrix}
x \\ y \\ 1
\end{matrix}\right) =
\left(\begin{matrix}
1 & 0 & 1\\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{matrix}\right)
\left(\begin{matrix}
\cos 45 \degree & -\sin 45 \degree & 0 \\
\sin 45 \degree & \cos 45 \degree & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{matrix}\right)
\left(\begin{matrix}
x \\ y \\ 1
\end{matrix}\right)
\]
- 仿射变换矩阵的结合顺序
\[
A_n(...A_2(A_1(\mathrm{x}))) = \mathrm{A_n}\cdot\cdot\cdot\mathrm{A_2}\cdot\mathrm{A_1}\cdot
\left(\begin{matrix}
x \\ y \\ 1
\end{matrix}\right)
\]
围绕特定点（非原点）进行旋转
- 将中心平移到原点
- 进行旋转
- 将中心平移回特定点
\[
\mathrm{T(c)} \cdot \mathrm{R(\alpha)} \cdot \mathrm{T(-c)}
\]