Lecture 02 Review of Linear Algebra

向量点乘

在图形学中通常将 \(n \times 1\) 的矩阵称为向量

向量的点乘可以判断方向性，＞0为方向基本一致，＜0为方向基本相反，=0为垂直

向量叉乘

分别使用 \(\overrightarrow{x}\)，\(\overrightarrow{y}\)，\(\overrightarrow{z}\) 来代表三维坐标向量，有以下的叉乘关系，可以通俗的记忆为轮换关系

\[ \overrightarrow{x} \times \overrightarrow{y} = +\overrightarrow{z} \quad \quad \overrightarrow{y} \times \overrightarrow{x} = -\overrightarrow{z} \\\ \overrightarrow{y} \times \overrightarrow{z} = +\overrightarrow{x} \quad \quad \overrightarrow{z} \times \overrightarrow{y} = -\overrightarrow{x} \\\\ \overrightarrow{z} \times \overrightarrow{x} = +\overrightarrow{y} \quad \quad \overrightarrow{x} \times \overrightarrow{z} = -\overrightarrow{y} \]

向量叉乘计算可使用公式，得到的结果向量方向符合右手定则，即逆时针方向

所得结果为正向，代表 \(\overrightarrow{b}\) 在 \(\overrightarrow{a}\) 的左侧

所得结果为负向，代表 \(\overrightarrow{b}\) 在 \(\overrightarrow{a}\) 的右侧

\[ \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = \left(\begin{matrix} y_a z_b - y_b z_a \\ z_a x_b - x_a z_b \\ x_a y_b - y_a x_b \\ \end{matrix}\right) \]

通过叉乘可以判断点是否在多边形的内部

即由P点连接成的向量均在边向量的同一侧（下图示例中为左侧）

矩阵形式的向量乘法

• 点乘

\[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = \overrightarrow{a} ^ {\mathrm{T}} \overrightarrow{b} = \left(\begin{matrix} x_a & y_a & z_a \end{matrix}\right) \left(\begin{matrix} x_a \\ y_a \\ z_a \end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix} x_a x_b + y_a y_b + z_a z_b \end{matrix}\right) \]

• 叉乘

\[ \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = A^*b = \left(\begin{matrix} 0 & -z_a & y_a \\ z_a & 0 & -x_a \\ -y_a & x_a & 0 \end{matrix}\right) \left(\begin{matrix} x_b \\ y_b \\ z_b \end{matrix}\right) \]

注意上述公式中 A* 代表由 a 向量的 dual matrix